css.php

The great search for the 16-clue Sudoku: computers, math, and the nature of proof

A 30-clue Sudoku puzzle. Image from WikimMedia Commons

Sudoku (rules can be found here) has always had a problematic association with mathematics.  A first reaction by the ‘man-on-the-street’ to all those numbers is that it’s “too math-y” —  ironic, since the numbers are just employed as placeholders and could easily be replaced by letters, pictures, or other symbols.  A Sudoku fan would counter with the (equally ironic?) retort “it’s not math at all — it’s just logic.”  In any case, the pattern-searching and deductive reasoning employed in teasing out the unique solution are skills any mathematicians would find familiar.

However, the real math behind Sudoku starts to rear its head when we turn the problem around, and try to build Sudoku puzzles.  We have to fill in enough boxes so that there is only one correct solution, but few enough that determining that solution presents a challenge.  Generally speaking, the more clues we fill in the easier the puzzle becomes to complete.

Project idea:  Work with a student (perhaps a motivated student studying probability or discrete math — anywhere that you are discussing combinations and permutations) to describe all possible completed Sudoku puzzles.  Even this may be quite hard, in the end, but the process would be illuminating — just finding different ways of describing the problem would be a good challenge.  How many ways of filling in nine digits in a 9×9 grid?  How do we begin to eliminate “repetitions” in rows, columns, and regions?  Etcetera.

An obvious question presents itself – what’s the “hardest” puzzle we can make?  How few of the boxes can be filled in, and still give a unique solution?  Examples have been found with as few as 17 clues.  On the other hand, it is not hard to see that very few clues will not work — if we try to build a puzzle with only 7 clues, the solution cannot be unique (since we have only used 7 of nine digits, any solution we obtain can be transformed into a different solution by swapping all occurrences of the remaining two digits).  But the gap between 7 clues and 17 is quite large — yes, it has been reduced further, but not by as much as you might expect (until this year, see below).

It is interesting to reflect on the status of this work in the relatively recent past — this post by Gordon Rolye on his blog SymOmega is about 15 months old, and asks (but doesn’t answer) the question “Is there a 16-clue Sudoku puzzle?”  In one of the top comments, he provides a reasonable argument why he expects the answer is no:

Well, it is still open, but my hunch is that there is NO 16-clue Sudoku puzzle. A single 16-clue Sudoku puzzle would give us a whole bunch of 17-clue puzzles and given how hard it now seems to eke out a single extra 17-clue puzzle, I would guess that it just doesn’t happen.

Computer-aided proof, and No 16-Clue Sudoku

On New Year’s Day 2012, a team of researchers posted this article on the arXiv: There is no 16-Clue Sudoku: Solving the Sudoku Minimum Number of Clues Problem.  Their proof is an interesting combination of subtle mathematics and brute-force computing.  One might ask why we can’t just check all the possible 16-clue puzzles, and here we run into trouble with exponential growth — there are simply too many (waaaaaay beyond the combined computing power of every processor ever built by man).  The mathematical subtlety arises in reducing the number of possible 16-clue puzzles to check (this is not,  strictly speaking, the method, but it captures the essence).  Even so, the number of possibilities is enormous, requiring about  7 million CPU hours to check them all.  In the end, no such puzzle was found having a unique solution.  Conclusion?  The minimum number of clues required for a Sudoku puzzle must be 17.  Here’s a nice video on the subject from the numberphile blog.

This amazing, and unsatisfying.

Amazing, because we have leveraged our  hands-dirty, real-world, physics-harnessing technological abilities to extend our purely mathematical knowledge (where usually the information flows the other way, with mathematics offering assistance to the more-applied disciplines).

Unsatisfying for at least two reasons:

First, how do we know it’s right?  No human has actually checked all the possibilities (nor will they!).  Here, we rely on the correctness of the hardware and software that ran the computation — and, given our daily difficulties with computers, this is a leap of faith on a pretty high level.  However, this is a tractable problem.  For example, it is much easier to check the algorithm used than to check every aspect of the hardware and software that implements it — and if the algorithm is sound, and produces consistent results regardless of implementation, we can have some confidence that it really does what we want it to do.

Second, and more troubling from a mathematical perspective, is that this proof doesn’t offer any kind of insight into the problem.  As mathematicians, we have a motivation to ask “why?” and we take great satisfaction when we finish a proof and finally understand not just the result but the reason behind it.  Indeed, when a mathematician shares a proof with a colleague, the essence of what they are trying to communicate is why the result holds.  So we ask: Why is 17 the minimum number of clues?  How can we generalize this to higher-order puzzles?  What’s the logical reason that no 16-clue puzzle will have a unique solution?  The result is true, but the reason is still beyond us.

 

This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

325 Responses to The great search for the 16-clue Sudoku: computers, math, and the nature of proof

  1. Sex hattı says:

    Thank you for sharing such an article with me. I like it.

  2. بازاریابی پیامکی ارسال کمپین های تبلیغاتی یا پیام های معاملاتی برای اهداف بازاریابی با استفاده از پیام های متنی است. این پیام ها عمدتاً برای برقراری ارتباط پیشنهادات، به روزرسانی ها و هشدارهای حساس به زمان به افرادی هستند که با دریافت این پیام ها از کسب وکار شما موافقت کرده اند. https://hamkaransms.com/Blog/whats-sms-marketing-3105/

  3. Hack forum says:

    Türkiyenin en büyük Hack forum sitesi

  4. petshopxxe says:

    xpetshop burası bızım ısımızz

  5. Cinsel sağlık ürünleri orjinal online satış sitesi Cinsel ilaçlar

  6. Online eczane satış sitemizden kadınlar ve erkekler için en etkili cinsel sağlık ürünleri hakkında bilgi sahibi olabilir sipariş verebilirsiniz. Thanks for sharing. Online Eczane

  7. mobil sohbet says:

    Artik arkadaş bulmak kolay mobil sohbet uygulamaları ile sohbet sitelerine giriş yap ve sohbete başla.

  8. sohbet says:

    İnsanların iletişim ve konuşma becerilerini geliştirmek için kurulmus mobil sohbet odaları ile arkadaşlık ve dostluk ilişkilerinizi sohbet ederek geliştirin.

  9. shaul says:

    Keep searching and posting your findings. Good info! getinkpreferred invitation

  10. Xparfumclub says:

    xparfumclub ile guvenli e-ticaret kalitesinin farkina varacaksiniz.

  11. of course like your web site however you have to take
    a look at the spelling on several of your posts. A number of them are rife with
    spelling problems and I find it very bothersome to inform the truth on the other hand
    I’ll certainly come again again. 카지노사이트홈

  12. I think the restaurant which you told me in the letter is very interesting. I also like to eat out and I usually go to a restaurant for dinner with my family tiwce a month.,The food is deliciuous so we enjoy it very much. The service is also quick and frienfdly 스포츠중계

  13. Easy-peasy with Private Chauffeur

    The istanbul private transfer service will minimize this distraction so that you can stay focused on your business trip while your private chauffeur handle the rest.
    The chauffeur-driven vehicles that we employ have been carefully selected to match your personal preferences for size, color, and other features that will make it easier for you to concentrate on your tasks.

  14. Acil Veteriner Kliniğimizde, vermekte olduğu hizmetlerle yalnızca Yeşilköyde’da değil, Medlinevet ak veteriner ile tüm İstanbul ve türkiyedede de adından sık sık söz ettirmeyi başarmış bir organizasyondur. Her zaman bilimi ve teknolojiyi referans alarak büyümek, üretmek, gelişmek ve kurumsallaşmak önceliklerimiz arasındadır.

  15. expo says:

    Thanks. You can visit our Expo site.

  16. paperpk says:

    nice post to see. waiting for more posts to see

  17. Good luck with the useful content. Thank you, it’s been useful content, thank you. Thanks

  18. 3cizgi says:

    It’s work for me.

  19. sitemizde betnoel güncel adresi dışında, büroya ait sorabileceğiniz tüm soruların cevaplarını bulabilirsiniz. güvenilir şekilde giriş yapmak için doğru adrestesiniz.

  20. betnoel giriş adresine ihtiyacınız var ve doğru bilgilere ulaşmak istiyorsanız sitemizi kolaylıkla ziyaret edin. Site hakkında ihtiyacınız olan tüm bilgileri sizlerle paylaşıyoruz

  21. Betnoel giriş adresine ulaşarak oyun heyecanınızı kaldığınız yerden devam ettirebilirsiniz. Sizler için hızlı ve en doğru bilgileri sunuyoruz.

  22. Thanks for fantfffffffffastic information I used to be on the lookout for this info for my mission.
    agario unblocked

  23. Bedava ve tamamen ücretsiz sade cvlerin sitesinde yerinizi alın!

  24. ircd hosting says:

    Very interesting. This reminds me of the quest for “God’s number” ie the minimum number of moves to solve any Rubik’s cube.

  25. Ücretsiz iş ilanları sitesi ve uygulaması ile iş bulabilir veya ücretsiz iş ilanı vererek eleman bulabilirsiniz https://www.isverenden.com

  26. samsun haber says:

    samsun için harika bir site

  27. Elibos, Antalya Markası olmasınıın yanı sıra Tüm Türkiyeye hizmet veren, Kaliteli Firmalardan Birisidir. Firmanıza özel kendi logo ve iletişim bilgilerinizin yer alacağı tasarımları ve promosyon ürünlerini yapıyoruz. Marka ve bilinirliğinizi artırmak için daha kurumsal çözümleri sizler için hazırlıyoruz. Bilgi imlecin ucunda, Tıklayın ve Promosyon Ürünlerine Hızla Erişin.

  28. Baby Walker says:

    Thanks for sharing such an informative post. Hope other readers might find this content as useful.

  29. Nutrition says:

    Actz.net is a free and comprehensive online resource for Health and Wellness information. We offer a wide variety of topics and provide education and guidance on how to maintain your health.

  30. beslenme uzmanı ile diyete hazır mısın

  31. fethiye kürtaj kliniği hizmete açılmıştır.

  32. sekabet says:

    sekabet online bahis ve casino

  33. Sağlık says:

    I am waiting for your next post.

  34. We offer you a unique experience to find Qibla direction. Thanks to our online compass, it is now easier to find directions.

  35. ابحث عن اتجاه القبلة الخاص بك بسرعة. تعرف على اتجاه القبلة وزاوية القبلة من خلال الخرائط عبر الإنترنت

  36. Herkes haber okumayı sever öyle değil mi? Dünya’da neler oluyor yaşadığım ülkede şehirde neler yaşanıyor? Hepimiz bunları merak etmiyormuyuz? O zaman bizim sitemizi de haber siteleri listenize almanızı tavsiye ederim çünkü Dünya haberleri artık bu portalden takip edilecek işte Dünya haberlerinin yeni adresi: Hilal Coğrafyası

  37. Atasehir Marangoz – Mobilya Tamir – Mobilya Montaj – Mobilya Kurulumu Marangoz Ustasi Ev ve is yerlerinizde kullanmakta oldugunuz tum mobilyalarin tamirini ve montajini uzman ekibimiz ile �zenle yapiyoruz.

  38. Betnoel giriş bilgilerinin yanı sıra site hakkındaki tüm güncel bilgileri paylaşıyoruz. Oyunlar ve bonuslar hakkında en detaylı bilgiler sizlerle.

  39. Find Qibla says:

    You can use many different tools to find the qibla. However, our site serves you with its simple interface and completely free structure. Easy to find qibla in a short time

  40. Avelox nedir says:

    Avelox hakkında tüm bilgileri sizlerle paylaştık. Avelox kullanımı ve müdaimi ilaçlar ve daha fazlasını bulabilirsiniz. Doktorunuzun izni olmadan kesinlikle ilaç kullanmayın etkili bir antibiyotiktir ve yan etkileri bulunmaktadır.

  41. Dolapp ,trendyol, instagram, facebook, tiktok be�eni ve takip�ileriniz en h�zl� ve en uygun fiyattan sa�lan�r.

  42. Antalya kalkan muhafazakar villalar

  43. Alüminyum nerelerde kullanılır? Uçak ve uzay araçları, taşıtlar, inşaat sektörü, mobilya, gibi birçok sanayi sektoründe alüminyum kullanılmaktadır.

  44. pvc kapı says:

    Pvc (Polivinil Klorür) geniş bir kullanım alanına sahip kapı ve pencere üretiminde çoğunlukla kullanılan plastik bir malzemedir, bu sayede Pvc kapı‘lar geri dönüşümü olan, çevre dostudur.

  45. Flooring says:

    How to Lay Herringbone Laminate Flooring?
    https://flooring-on.com

  46. Sex hattı says:

    Thank you for sharing such an article with me.

  47. Marsbahis says:

    thanks for sharing post bro

  48. TeleSex says:

    thanks a lot for article bro.

  49. aneiqbal says:

    Thanks for sharing that content.

  50. Çağrı Merkezi, Müşteri Hizmetleri ve İletişim Numaralarının yer aldığı web sitemize sizleri de bekleriz.

  51. Küçükçekmece nakliyat says:

    Küçükçekmece nakliye firmaları aralarında kaliteli ve profesyonel evden eve nakliyat, yük taşıma eşya taşıma firması. Küçükçekmece nakliye hizmetleri için ziyaret edebilirsiniz.

  52. yadongbiz says:

    Thanks for sharing. I found a lot of interesting information here. A really good post, very thankful and hopeful that you will write many more posts like this one. https://www.yadong.biz

  53. Gülger vinç olarak günlük vinç kiralama, vinç saat ücreti gibi konuları bizi arayarak öğrenebilirsiniz. Çünkü vinç kiralama Ankara’da adı sayılan uzman kadrosuyla kaliteli ve engin hizmetler veriyoruz. Ankara Vinç Firması olarak size hızlı ve etkili çözümler sunuyoruz.

  54. Curtains should be designed on the window widths, this contributes to the fact that the room looks spacious. In order for them to sleep well, blackout roller blinds or fabric type blinds should be selected. The colors to be preferred should help the healthy development of children. If roller blinds and folding curtains are to be preferred, much attention should be paid to rope and chain lengths for children.beylikdüzü perde

  55. The fact that the decorations of the living areas are exclusive is also an important detail that allows improving the quality of life. The fact that different rooms are decorated in a way that is suitable for the purpose of use, and the common areas are compatible with all this decoration, has a positive effect on functionality, comfort and our psychology. For this reason, the decorations of our houses, where we spend the most part of our lives, are of great importance. Brass handrail systems create a unique decorative effect in public areas. A railing designed with a brass and artistic point of view that offers high visual appeal ensures that a respectable and exclusive atmosphere is created in public areas.
    pirinç küpeşte

  56. Why Should a Corporate Company Be Commissioned for Terrace Closures?: A long topic title, but the topic we will describe will not be as long as the title. The answer to this question will be guaranteed in one word. It will definitely be profitable for you in the long run to have a corporate firm of the terrace closure application. Corporate companies have to guarantee you jobs and materials against problems and problems that may occur over time in the application.teras kapatma

  57. tente says:

    For balconies and terraces of houses, more and more classic models of awnings are used. These types of awnings can be opened and closed manually thanks to the joint systems. You can see that it is used in the windshield sections of many workplaces or in places such as cafes. It is made of acrylic fabric and is ensured to be resistant to all weather conditions.

  58. We sell Merck Millipore groups; analytical and sample preparation Biopharmaceutical, Microbial testing solutions, IVD/OEM supplies and Reagents life science research Reagents, chemicals and laboratory supplies, pharmaceutical products, water purification equipment and systems and the classical form.

  59. The laboratory is a facility that allows scientific research, experiments and measurements to be carried out in a controlled manner and the development of these scientific studies, experiments, and controlled measurements to be carried out.

  60. hazır ofis says:

    hazır ofis Tamamen kullanıcıların konforu göz önünde bulundurularak tasarlanan ofisler, en gelişmiş teknolojiler ve birinci sınıf ofis ekipmanları ile dekore edilmiştir. Muhteşem bir site mutlaka göz atın

  61. tiktok blog says:

    She finally understood that grief was her love with no place for it to go.

  62. betwon inceleme için sitemizi ziyaret edebilirsiniz.

  63. Ekonomik ve istikrarlı fiyat politikamız ile araç kiralama sektöründe yeni bir sayfa açtık.

  64. apk galaxsi hemen indir ve yukle

  65. oyna apk says:

    apk oyna olarak dosyalarınızı hemen yukleyın

  66. Samsun Haber says:

    Samsun Haber, güncel samsun haberlerini ve gelişmelerini takip edebilirsiniz.

  67. ip kamera canlı yayın hizmeti ve ip kamera ile ilgili hizmetleri sunulur.

  68. tv hosting says:

    en uygun fiyatlı tv hosting paketleri

  69. isviçre haber ve son dakika isviçre haberlerini okuyabilirsiniz.

  70. trabzon haber, sondakika trabzon haberleri

  71. Turizm says:

    Turizme Bakış; turizm haberleri, turizm terimleri, turizm çeşitleri ve turizm eğitimi ile ilgili tüm bilgileri en doğru şekilde aktaran bir turizm blogudur.
    Turizme Bakış; It is a tourism blog that conveys all information about tourism news, tourism terms, tourism types and tourism education in the most accurate way.

  72. netgol says:

    Lets all be unique together until we realise we are all the same.

  73. iddaa tahmin says:

    iddaa sonuc ve tahmin

  74. tv led panel says:

    Sometimes, all you need to do is completely make an ass of yourself and laugh it off to realise that life isn’t so bad after all.

  75. tüm ürünlerinizi inkjet kodlama sistemi ile güvenle kodlayın çok sevdigim bir firma

  76. balık av malzemelerine ulaşın misineden oltya her şey sizinle!

  77. razor blades says:

    A great website for razor blade needs. I would definitely recommend

  78. samsun haber says:

    samsun içi her habere hemen ulaşın kesinlikle önerilir

  79. Sohbet says:

    sizinle ortak bir ilgiyi paylaşan diğer kişilerle bağlantı kurmanın heyecan verici bir Sohbet yoludur, bu ilgi yalnızca yeni insanlarla tanışma ve Sohbet etme arzusu olsa bile Chat dünyadasında ortaya çıkan yeni bir sosyal ortam türüdür.android uyumlu dokunmatik ekran akıllı cep telefonları, tablet, ipad, iphone gibi mobil cihazlarla tek bir tıkla Mobil Sohbet’e katılabilırsıniz.İnternetin yaygınlaşması ve akıllı telefonlarının bu özelliğe sahip olması insanların diledikleri yerde internete bağlanması bilgisayarlara olan ilginin azalmasına neden olmuş.

  80. Kolaylık prensibi üzerine kurulan altyapısıyla ‘hızlı’ ve ‘kaliteli’ hizmet alabileceğiniz Esem Medya ile geleneksel matbaa süreçlerinin sebep olduğu zaman ve para kaybını ortadan kaldırıyoruz

  81. Propolis hakkında daha fazla bilgi almak için sitemizi ziyaret edebilirsiniz

  82. Karton bardak hazır desenli, beyaz, baskılı, baskısız veya renkli alternatifleri sunan karton bardak firması Aycup®, markalı ürünlerimizle çekici tasarımlar ve uygun fiyatlar sunmaktayız.
    Çoğu yerli üretim olan ve satışını yaptığımız karton bardak boyutları ; 4 oz, 6.5 oz, 7 oz, 7 oz vending, 8 oz, 9 oz, 12 oz, 14 oz, 16 oz, 16 oz çorba kasesi, ürünleri profesyonel personelimiz sayesinde müşterilerimizin ihtiyaçlarını karşılıyoruz.

  83. betkanyon says:

    7/24 online destek güvenilir bahis ve casino

  84. el tipi kodlama cihazı mükkemmel kalite ve sektörün öncüsü

  85. ankara boya badana işlemlerinde hem uygun fiyatlı hem profesyonel hizmet

  86. ankara şehirler arası nakliyat ile tüm evinizi uygun fiyatlara taşıtın

  87. su deposu temizliği için hem ev hem ofis farketmeksizin başarılı bir işçilik

  88. Thank you very nice post

  89. Bursa Çiçek Market’deki yüzlerce çiçek arasından dilediğinizi seçip çiçek siparişi verebilir, çiçek teslimatında İndirimli fiyatlarla çiçek aranjmanları hızlı Bursa Çiçekçi ve ilçelerine çiçek gönder, aynı gün ya da dilediğiniz gün, en taze haliyle teslim edilmesini sağlayabilirsiniz. İnternetten online çiçek sipariş sistemi ile, birkaç dakika içinde Bursa bölgesindeki tüm arkadaşlarınız ve aileniz için güzel bir buket veya çiçek aranjmanını Bursa çiçek siparişi verebilirsiniz. Bursa ilinde bulunan sevdiklerinizi çiçeklerle buluşturuyoruz. Bursa lider Çiçekçi uzmanının gücü artık bizimle. Attığımız her adımda daha da büyüyen, bizi her gün daha yukarı taşıyan. Bursa önemli bir il olduğu kadar Türkiye için de önemi büyüktür. bursa çiçek

  90. İnternetten online çiçek sipariş sistemi ile, birkaç dakika içinde Kartal bölgesindeki tüm arkadaşlarınız ve aileniz için güzel bir buket veya çiçek aranjmanını Kartal çiçek siparişi verebilirsiniz. Kartal ilçesinde bulunan sevdiklerinizi çiçeklerle buluşturuyoruz. Kartal lider Çiçekçi uzmanının gücü artık bizimle. Attığımız her adımda daha da büyüyen, bizi her gün daha yukarı taşıyan. Kartal önemli bir ilçe olduğu kadar İstanbul için de önemi büyüktür. kartal çiçek

  91. çelenk says:

    Sevdiklerinizin en özel anlarında, düğün günlerinde, onlara olan sevginizi ve desteğinizi düğün çelenkleri ile gösterin. Birbirinden etkileyici düğün çiçekleri ve düğün çelenkleri, yanlarında olamasanız da sevdiklerinizin yüzünü güldürmenize yardımcı olacak

  92. Boyasız Göçük Onarımı (PDR-Paintless Dent Repair) park hasarları , dolu hasarları v.s. gibi darbeler sonucu aracın kaporta aksamı üzerinde meydana gelen, boyanın zarar görmediği kaporta göçüklerinin aracın orijinal durumuna sadık kalarak boyama işlemi yapmadan özel aletler ile onarma işlemidir.

  93. İstanbul’un en ücra köşelerine kadar çiçek siparişi yetiştiren Çiçek Market, Sultanbeyli’de yaşayan sevdikleriniz için de kusursuz seçenekler sunuyor! Türkiye’nin neresinde olursanız olun, size uzak kalan Sultanbeyli’de ikamet ettikleri için yanlarında olamadığınız yakınlarınıza mevcut konsepte uygun şekilde hazırlanmış çiçekler gönderebilirsiniz. Doğum günü, yıl dönümü, dünya çapında kabul edilen Sevgililer Günü, Anneler Günü gibi özel günler ve benzeri yılın herhangi bir zamanında günün anlam ve önemini karşılayacak aranjmanları rahatlıkla bulabilirsiniz. sultanbeyli çiçek

  94. Türkiye’de aynı gün içinde Çiçek Siparişi için tüm çiçek ve düzenlemeler bulunmaktadır. Çiçek dükkanlarımızdan, Türkiye’de aynı gün için çiçek teslimatı yapmaktadırlar. Web sitemizi kullanarak aynı gün Türkiye’de çiçek siparişi, verebilirsiniz ve Türkiye’de çiçek sunan dükkanlarımızı seçebilirsiniz. Türkiye’de anlaşmalı Çiçekçiler ile değil kendi Çiçek dükkanlarımız ile çalışmak daha büyük, daha güzel bir buket ve tam zamanında teslimat ve fiyat konusunda mükemmel bir hizmet anlamına gelir. çiçek market

  95. Ana haber bülteni, kadın programları ve birbirinden güzel dizileri canlı ve sorunsuz izleyin. Thanks you

  96. hollanda aile birleşimi işlemleri için tek tek ve anlaşılır şekilde yazılmış bir içerik çok faydalı buldum

  97. almanya vize ücretleri 2022 yılı için güncel olarak yazılmış

  98. amerika vizesi almak isteyenler için harika bir web sitesi buldum kesinlikle değerli bir içerik yazmışlar okuyun bence

  99. dhankesari night result
    Really Good Website Give Lots of Information in the Artical Posts

  100. uygun fiyatlı minecraft server kiralama hizmeti performans canavarlarımız ile tanışın

  101. fal says:

    wonderfull share thanks !!
    online fal

  102. fal says:

    awesome post thanks !!
    online fal

  103. Seo Uzmanı says:

    SEO Uzmanı, bir siteyi tüm arama motorları için, özellikle Google için tamamen optimize edilecek şekilde inceler, test eder ve geliştirir

  104. Matadorbet says:

    Matadorbet Bahis Sitesinin Giriş Adresi İçin Tıklayınız.
    Matadorbet Güncel Giriş Adresi

  105. Kralbet says:

    Kralbet Bahis Sitesine Giriş Yapmak İçin Tıklayınız. Kralbet

  106. firmamın sitesi güvenli ellerde sizde heemn bakabilirsiniz

  107. en kaliteli site tasarımcısı

  108. en iyi iphone servisi kesinlikle çalışkanlar

  109. Antalya psikolog ve psikiyatri konusunda yüz yüze ya da online terapi hizmeti almanın tam zamanı. Uygun fiyatlar burada

  110. Thank you, it makes my day to hear that.

  111. T�rk Oyuncu Haberleri ile g�ncel kal.

  112. Adana ulus teknik ile g�ncel kal

  113. Aylık 10 bin tl ve üzerinde maaş alan birçok meslekler bulunuyor. Bu meslekler bazıları eğitim isterken bazıları eğitim istemiyor. bla bla bla. kendi sitem takıl kafana göre

  114. güncel trafik sigortası fiyatları ve bilgiler. Sigortaya dair ihtiyacınız olan tüm detayları bulabilirsiniz.

  115. Şehir içi ve şehirler arası nakliyat işlerinizde kalitenin adresi.

  116. tüm zamanların izlenmesi gereken en iyi filmleri. Birbirinden değerli baş yapıtlar film severler ile buluşuyor.

  117. Doğum günü olan yakınlarınıza en güzel mesajları göndererek onları mutlu edin.

  118. Ehliyet almayı kolaylaştırmak için her türlü bilgi ve belge en güncel haliyle sizlerle…

  119. Son dakika gelişmeleri ile Trabzon haberleri sizleri bekliyor. Şehirde olup bitene uzak kalmayın.

  120. Yoksa duymadın mı? Youtube kanalında neler olup bitiyor, en güncel gelişmeleri bizimle takip edebilir, kanal hakkında detaylar alabilirsiniz.

  121. İşaret dili duymayan ve konuşamayan insanlarla anlaşmanın en iyi yoludur. Bunun eğitimi ile profesyonel olarak onlarla anlaşabilir ve hatta kendinize bu konuda iş bulabilirsiniz.

  122. great article thankss

  123. jaago indian says:

    Jaago Indian Letest News , Political news , Today News Update Usually I never comment on blogs but your article is so convincing that I never stop myself to say something about it. You’re doing a great job Man,Keep it up.

  124. University Times University news Good article and right to the point. I don’t know if this is really the best place to ask but do you folks have any thoughts on where to employ some professional writers? Thanks in advance 🙂

  125. Dr Rajat Goel best bariatric surgeon in delhi Great post. Articles that have meaningful and insightful comments are more enjoyable, at least to me. It’s interesting to read what other people thought and how it relates to them or their clients, as their perspective could possibly help you in the future.

  126. Tiktok izlenme satın alabilirsiniz…

  127. Tiktok izlenme satın alabilirsiniz…

  128. Malatya her yıl gerek turistik, gerekse iş amaçlarıyla birçok kişinin ilgisini çekmektedir. Şehir içerisinde daha kolay ve hızlı ulaşım için MalatyaAraç Kiralama büyük bir önem taşımaktadır. Uygun fiyatlarla sunulan bu hizmetler, yüksek kaliteye sahip olduğu için büyük bir zorluktan kurtarmaktadır.

  129. Thank you, I am happy to hear you feel that way!

  130. webhaberin.com sitesi içerisinde güncel hayata dair birçok konu hakkında bilgi edinebileceğiniz geniş kapsamlı blog sitesi.

  131. smm panel,op medya,giriş yap,instagram beğeni,takipçi,instagram takipçi satın al,instagram beğeni satın al,smm servis sağlayıcısı,beğeni,hile,bot takipçi,bot beğeni,türk beğeni,instagram takipçi hilesi,smm provider

  132. Tv lambingan says:

    Thanks for sharing this great blog site. Very interesting and informative. Good job!

  133. gerçek fal says:

    thanks for sharing

  134. sağlık says:

    Sağlıklı bilgiler, sağlıklı günler!

  135. Blogger olmak için kodlama bilmenize gerekmez. blogger temaları premium temalar ücretsiz.

  136. iguanabey says:

    hey ty for this iguanabey – sosyal medya haberleri ve gizli profilleri görüntüleme sitesi yolları thanks for this bro iguanabey internetten para kazanma yolları

  137. SEO Uzmanı says:

    SEO Uzmanı sayesinde siteleriniz arama motorlarında üst sıralara kolayca çıkabilecek. Gerekli optimizasyonlar ve SEO çalışmaları ile arama motoru performansınız kolayca iyileşecektir, müşteri potansiyeliniz ve organik trafiğinizde artış sağlanacaktır. İnternette var olmak isteyen her işletme gibi mutlaka SEO çalışmasını bir uzmana yaptırmanız gerekir. Rakiplerinizi geride bırakın, hedeflediğiniz anahtar kelimelerde üst sıralara yükselin.

  138. seokoloji says:

    Thank you, good content. Perfect

  139. Maybe only very beautiful problems have “why” answers? Could you argue that since there are only a small number of “short explanations” it follows that most problems must be uninteresting, for purely combinatorial reasons? thank! Ankara boşanma avukatı

  140. The world is evolving and everything is changing day and night. People are now doing E-learning due the technology advancement. I would advice every scholar to go for E-learning system of study. Need research paper writing help? Please visit my site.

  141. Mehmet hnasa says:

    Kaliteli ve uygun fiyatlı Kanvas Tablo
    Duvarlarınızın modasını belirlemek için kanvas tablo galerimizi ziyaret edebilirsiniz. https://www.modatablo.com/

  142. IP TV internet üzerinden izlenen televizyon sistemlerine verilen isimdir. Günümüzde birçok ücretli platformu IP TV üzerinden şifresiz olarak izleyebiliyorsunuz. Dizileri, uyduları internet üzerinden internet bağlantınız varsa kolaylıkla izleyebilirsiniz. Ülkemizde bazı Ip TV uygulamaları yasal olarak kabul edilmiyor. Bu durumda bu alanda faaliyet gösteren platformlar Ip TV reklam verme konusunda sorunlar yaşayabiliyor.

  143. en iyi en güzel boyama sayfası
    boyama sayfası

  144. Elexusbet says:

    Good text bro. thank you. Nice Article

  145. final ank says:

    this is one of the greatest ways to learn things about a company.
    harvard is one of the greatest universities of all time.

  146. matka 420 says:

    keep post good things

  147. satta matka says:

    We know from experience that drinking water inside building plumbing acts differently than when it is in the water distribution system (the water mains outside, under the streets). On this page, we try to explain a couple of the things that make building plumbing so complex .

  148. boss matka says:

    awsome blogs man

  149. Amazingly content and so useful sharing.

  150. Instagram hesap kurtarma işlemi bazı durumlarda son derece gerekli olabiliyor iken bazı durumlarda göz ardı edilebiliyor. Instagram hesapları genellikle bahis ve çeşitli illegal reklam yapan kişiler-çeteler tarafından hedef alınmaktadır. Organik takipçiye sahip hesaplar çeşitli yöntemlerle çalınır ve kişinin hesabından herkesin göreceği şekilde hikaye veya gönderi paylaşım yapılır. Diğer yandan, Instagram hesabınıza girememeniz hesabınızın çalındığı anlamına da gelmeyebilir. Instagram hesap kurtarma hakkında daha fazla bilgi edinin!

  151. emir eymen says:

    thanks for this information

  152. emir eymen says:

    thanks for this information

  153. emir eymen says:

    thanks for this information

  154. Uygun fiyata vpills Hap Satış Adresi

    http://vpilisecza.com

  155. Yavuz Alkın says:

    Uygun fiyata Viagra 100 Mg Hap Satış Adresi

    http://viagra100hapfiyati.com

  156. Uygun fiyata Cialis 100 Mg Hap Satış Adresi

    http://cialis100mgfiyatinalin.com

  157. Uygun fiyata vega 100 Mg Hap Satış Adresi

    http://vega100hapfiyati.com

  158. Emre Korkmaz says:

    Uygun Fiyata Cinsel Performans Ürünleri

    http://medikaldermantr.com

  159. satta matka says:

    Awesome blog that features articles offering me the intended recipient you are not understand the perfeto 7

  160. final ank says:

    This is a indian matka number of learning and smart ways of learning and excelling

  161. meteor led says:

    I don’t know whether it’s just me or if perhaps everyone else encountering issues with your site. It appears as though some of the written text within your content are running off the screen. Can someone else please comment and let me know if this is happening to them too? This might be a issue with my internetbrowser because I’ve had this happen previously. Appreciate it

  162. fianl ank says:

    This is a indian matka number website

  163. It was useful content. Thanks

  164. Enkolaymatbaa ekibi olarak Kupa Bardak Baskı Hizmetleri vermekteyiz. En Uygun Kupa Bardak Baskı Fiyatları İçin Bizimle İletişime Geçin.

    https://enkolaymatbaa.com/

  165. I found your content worth reading. I would be very happy if you support me by reading my existing content on a blog.

    My blog address is https://terzimankeni.web.app/

  166. Vega 100 hap says:

    Vega 100 mg 4 lü tablet eczane güvenceli orijinal geciktirici ve sertleştirici ilaç kampanyalı satış sitesi Vega 100 fiyat

  167. Online eczane satış sitemizden kadınlar ve erkekler için en etkili cinsel sağlık ürünleri hakkında bilgi sahibi olabilir sipariş verebilirsiniz. Thanks for sharing. Cinsel İlaçlar

  168. Rulman says:

    Rulman, Keçe, Bilya, Redüktör, Sigma Profil, Segman, Kayış, CNC Rulmanları, Tane Bilya gibi bir çok çeşit ile 1959 yılından beri müşterilerimizin hizmetindeyiz.

  169. Thank you for this nice sharing.

  170. yasar öcal says:

    Selamlar, böyle yararlı makaleler yazarak sektöre katkı sağladığınız için teşekkür ederim. Bizler de Çağlayan Klima olarak Antalya’da klima montajı, klima bakımı, klima temizleme, klima takma, klima arıza, hizmetleri vermekteyiz. Saygılar sunarım. https://www.antalyaklimaservisleri.net/

  171. Ayeses Group says:

    Yangın Sonrası Temizlik
    Yangın sonrası temizlik konusunda ihtiyacınız olduğu her alanda etkili sonuçlar için hizmet alabilir ve bu şekilde daha kısa süre içinde yaşam alanlarını eskisi gibi kullanmaya devam edebilirsiniz. Oluşan yangının boyutlarına göre farklı şekillerde yapılacak olan işlemler ile alanda daha temiz bir alan oluşturulması sağlanır.

    Yangın sonrası temizlik konusunda ihtiyacınız olduğu her alanda etkili sonuçlar için hizmet alabilir ve bu şekilde daha kısa süre içinde yaşam alanlarını eskisi gibi kullanmaya devam edebilirsiniz. Oluşan yangının boyutlarına göre farklı şekillerde yapılacak olan işlemler ile alanda daha temiz bir alan oluşturulması sağlanır. https://www.ayesesgroup.com/hizmetlerimiz/istanbul-afet-sonrasi-temizlik/

  172. Re-Satr Evden Eve Nakliyat

    https://www.re-satr.com

    Re-Satr Nakliyat evden eve nakliye ve Taşımacılık sektöründe uzun yılların verdiği Hizmet sayesinde bir çok alanda gösterdiği başarı ile Türkiye’nin en ucra köylerine bile taşımacılık hizmeti vermekte dir nakilye firmaları arasında öncü olan firmamız sayesinde evinizde özenle alınıp paketlenen eşyalarınız asansörlü hizmetimiz ile istediğiniz adrese ayın özenle götürülüp teslim edilmektedir.

  173. İstanbul Güvenlik Kamera Hizmeti

    http://teknoguvenlik34.net

    Teknoguvenlik34 sayesinde evinizde, villanızda, okullarda, Otoparklar, Kamu Kurum ve Kuruluşları, Ofisler, Avm veya iş yerinizin güvenliğini kolayca artırın. 2 megapiksel kameralı,5 megapiksel kameralı çeşitlerimiz mevcuttur. Full donanımlı sistemi sizlere sunmaktayız. Gündüz renkli kayıt yapar ve otomatik olarak gece görüşü moduna geçer. Güvenlik kamera sistemi ile ilgili detaylı bilgi için bizi arayabilirsiniz.

  174. good information. thanks a lot. good job.

  175. very good information. thanks. good luck..

  176. Thanks to these practices, which bring certain quality standards to companies by ISO (International Standards Organization), you can get all the necessary information to provide world-class service in production, export, R&D. In this direction, Prodan Quality Consultancy firm will lead you with its well-equipped team.

  177. ISO 9001: 2015 Quality Management System Certificate
    ISO 14001: 2015 Environmental Management System Certificate
    ISO 22000: 2018 Food Safety Management System Certificate
    ISO 27001: 2013 Information Security Management System Certificate
    ISO 45001: 2018 Occupational Health and Safety Management System Certificate
    Training and Consultancy Services
    http://www.iso9001-belgesi.net

  178. Güzel bir çalışma

  179. Nice post! Thanks! This is significant information for me.

  180. Nice post! This is important information for me. Thanks!

  181. Takipçi satın al, instagram ucuz ve güvenilir takipçi ile instagram güvenilir ucuz takipçi satın al. En ucuz ve en güvenilir instagram takipçi sitesi; https://takipcisepette.com ile ucuz instagram takipçi satın al!

  182. Adl belge says:

    Friends, I think once the comment was about “The great search for the 16-clue Sudoku: computers, math, and the nature of proof”.

  183. Hmm.. It’s work for me.
    Just an information, if you need information about Pengertian Valve visit our website

  184. sohbet says:

    cafe sohbet mekani canli sohbet

  185. mehmet says:

    Türkiye’nin en hızlı ve evinden çıkmadan en çok para kazandıran sitesi ! Hemen üye ol sende kazanmaya başla !
    bigorevyap.com

  186. sattamatka says:

    love from bjp india

  187. turkchat says:

    teşekurler admin saol

  188. Thanks you very nice hand good.

  189. Aycup ® markamız ile önceliğimiz kurumsal firmaların ihtiyacı olan kullan- at ürünleri, karton bardak, kağıt bardak, tahta karıştırıcı ve ofis sarf malzemeleri tedariğini yapmaktayız.

    2012 yılında kendi müşteri portföyüne kısa bir zamanda sahip olan Aycup ® yaptığı yatırımlarla markasını karton bardak piyasasına kabul ettirmiş, karton bardak denilince akla gelen lider markası olmuştur.

    Kalitesi ile her geçen gün dikkat çeken karton bardak firması Aycup ® karton bardak, kağıt bardak, tahta karıştırıcı, plastik karıştırıcı ürünlerini cazip fiyatlar ile satışını yapmakta, halen sektörün lokomotifi halindedir. https://www.aycup.com.tr/iletisim

  190. Elektrikli scooter alanında hizmet veren ve birçok mikro mobilite aracının satışını yapan kaliteli bir alışveriş sitesidir. Escooter, elektrikli bisiklet, tek teker, hoverboard başta olmak üzere birçok mobilite aracını bulabilir, inceleyebilir ve güvenle sipariş verebilirsiniz. Yapmanız gereken tek şey internet sitesini ziyaret etmek ve beğendiğiniz ürünü sepete atarak satın almak. Siparişiniz güvenli bir şekilde kapınıza gelecektir.

  191. Seodemy says:

    Seo İle İlgili herşey

  192. teknodate says:

    Güncel Teknoloji Haberleri

  193. chat hup says:

    Thank you so much for this good share. you can

  194. lamhar says:

    Nice and good information.

  195. Oyun says:

    Oyun haberleri, Oyun incelemeleri ve daha fazlası.
    Epic Games, Metro: 2033 Redux’ı Ücretsiz Yaptı
    https://www.btnet.com.tr/epic-games-metro-2033-reduxi-ucretsiz-yapti-1791

  196. En son teknoloji haberleri, donanım haberleri burada. Akıllı telefon, tablet, donanım, yazılım haberleri, dünya ile aynı anda özgün olarak Tekno Bilim adamı websitesi

  197. hartono liem says:

    Nice and good information about sudoku.

  198. lab komputer says:

    amazing helpfully blog for everyone…

  199. Sofyan says:

    Thanks…Very interesting.

  200. Pingback: How Financial Leadership Development Can Improve Your Accomplishment - Evans shop

  201. Pingback: Eye Health Training – vmasksnapgcc

  202. Pingback: What is Your Law-school Definition of Regulation? - Brand Promotions

  203. Pingback: Biology or equal – how I realized! – Prism

  204. Pingback: Biology or similar – the way i acquired! – Chegou o Gás

  205. Pingback: What’s Science? | MBthin

  206. Pingback: The Importance of Having a Rally – Spark News NG

  207. Pingback: Massages: retraining to be a masseur / masseuse for. – Glactro

  208. Pingback: Maintenance little one resolve researching taxation. | MINERA P'HUYU YURAQ II EIRL

  209. Pingback: Oingo Boingo also takes tunes seriously. : Apex Youth Foundation Inc.

  210. Pingback: Getting the Optimal/optimally Computer Science Undergraduate Diploma - Eco House

  211. Pingback: Institute of Mathematics and computer scientific discipline. | Ornatos Embalagens

  212. Pingback: Drive note – an illustration. – Funnel Factor X Agency

  213. Pingback: translate high school degree or diploma. | House Cleaning and Maid Service in Phoenix, AZ | Maid Easy

  214. Pingback: Two Research: How will you secure a desired location themself. – Al-Ghani Solutions

  215. Pingback: translate high school degree or diploma. – Lê Hoàn Studio

  216. Pingback: App dual research projects: How do you apply perfect? - SoftwareVilla News

  217. Pingback: Cyber strike about the Institution of Giessen: What helps prevent the UW? – Vay ngân hàng

  218. Pingback: Dental helper – schooling necessities, earnings. – JoVaSaMc

  219. Pingback: Understanding The Chemistry Of Combination Science - Estucos y Morteros DECAL

  220. Pingback: Notice Cooperative Learning Market « Hannaford Career Center

  221. Pingback: Until such time as further discover, only consider, and multimedia along with the sign up of brand new individuals can be done during the DHBW Stuttgart local library. – Hacked By Hunter Bajwa

  222. Pingback: Why Would You Really Need The Science Of Your Head? – BHA CONCEPTION

  223. Pingback: Access Science - Your Security Alternative For Faculties - dndigital

  224. Pingback: Could Science and Religion Come Together? - iCare Compassion Ministries Foundation, Inc.

  225. Pingback: Not for the faint of cardiovascular system – the twin analysis the tax place of work. – MinhoMática

  226. Cool on with the kjd

  227. Dendy RO says:

    Hmm.. It’s work for me.
    Just an information, if you need information about Spesifikasi HP Xiaomi visit our website.

  228. Pingback: Simply As You Will Find Many Types Of Muesumthat You Can Find Houston Museum Of Pure Science Solutions

  229. Pingback: Financial hosts and hostesses monetary option as administrators / officials or employees for tax bill and fiscal regulators while using supervision of fees such as profitscorporation and tax, area shift and inheritance taxes. – Farmasi Üye Kayıt

  230. Pingback: Emphasis Aspects of Power And Environmental Science - sparksinside

  231. Pingback: The Arithmetic learning foundation. – ImagineSecurity

  232. Pingback: User Product reviews: Just how can we finance our scientific tests. – RapidSofts

  233. Pingback: Demo K-Order | Vocation like a specialist number in Bremen: Functional and filled with potential customers.

  234. Pingback: Hardware and software options on the corporate and business circumstance design, conceive and develop. – Andrew Rwela

  235. Pingback: Greatest Colleges For Compsci – CEMPIABI

  236. Pingback: Mathematics and Genealogy: A Match | Creative Wonder

  237. Pingback: Our March for Science amounts have increased with over 200% since this past year. | Ganymede International

  238. Pingback: An Overview of This Differing Traits among Poetry and Arithmetic – Principal

  239. Pingback: Mathematics Suggestions — Know More About Your Skills — Меджурнал

  240. Pingback: Arithmetic Tricks - Know About Your Partner - hacked by ibna noman

  241. Pingback: Uni, Academy, FH and TU – In which ought i investigation? – Hacked by Fighter Anas

  242. Pingback: Educator (m / w / d)

  243. Pingback: Advice On Glencoe Science – Digisoft

  244. Amber says:

    For those of you willing to try some minimal sudokus, I found this site that generates a lot of different ones: http://sudokus.co.nf/
    All of the sudokus there only have 17 clues.

  245. Hunter says:

    Very interesting. This reminds me of the quest for “God’s number” ie the minimum number of moves to solve any Rubik’s cube. An article by Rik van Grol gives a good summary.

    It is strange to compare computer-aided-proofs, which are so brutally concrete, to set theoretic arguments that show an absolute statement is consistent with ZFC. They both provide essentially zero insight, but are located at completely opposite ends of the abstractness spectrum.

    Maybe only very beautiful problems have “why” answers? Could you argue that since there are only a small number of “short explanations” it follows that most problems must be uninteresting, for purely combinatorial reasons? 🙂

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *